中山大学香港高等研究院应用数学研究中心成功举办“应用数学与偏微分方程交叉研究”研讨会

2026年3月30日下午，“应用数学与偏微分方程交叉研究”研讨会在香港成功举办。本次研讨会由中山大学香港高等研究院应用数学研究中心主办，粤港澳大湾区跨学科科学学会共同承办。此次研讨会邀请到了澳门大学桂长峰教授、美国佐治亚理工学院潘荣华教授、香港理工大学王治安教授以及香港中文大学、中山大学、深圳大学等大学的专家学者和博士研究生参会。会议由中心主任姚正安教授主持，随后三位教授应邀分别做了精彩的学术报告，之后与会专家学者展开了热烈的交流和讨论。

桂长峰教授首先做了题为“Hot Spots Conjecture”（热点猜想）的学术报告。在报告中，桂教授首先进行了背景介绍，在经典热传导方程的研究中，观察到当系统完全绝热时，最热区域倾向于向边界移动。Rauch于1974年提出的热点猜想（Hot Spots Conjecture）断言：拉普拉斯算子的第二诺伊曼特征函数的全局最大值（即最热点）仅在区域的边界上取得。值得注意的是，对于三角形区域，Judge与Mondal近期在[Ann. Math., 2022]中证明了其内部不存在临界点；然而，关于三角形中第二诺伊曼特征函数的若干重要问题仍有待解决。桂教授接着完整阐述了合作完成的这些问题的解决方案，他们的研究方法运用了若干核心思想，包括通过区域变形建立的连续性论证、各类特征值问题的特征值比较，以及最大值原理等。

潘荣华教授随后做了题为“Rayleigh-Taylor instability and beyond”（雷利-泰勒不稳定性及其他）的学术报告。潘教授首先进行了背景介绍，物理学中已知，在均匀重力作用下，流体的稳态当且仅当对流不存在时才是稳定的。在不可压缩流体的情形下，当较重的流体位于较轻流体之上时便会产生对流，这一现象被称为瑞利-泰勒不稳定性（Rayleigh-Taylor instability）。然而，在现实世界中，热传递在流体对流中扮演着重要角色，例如天气变化或烹饪过程。在此背景下，流体的可压缩性变得至关重要。事实上，采用更具现实性的可压缩流动与热传递模型，解的行为与真实世界更为接近，同时也更为复杂。潘教授接着在报告中介绍并讨论这些主题，包括一些正在进行的研究项目和成果。

王治安教授接着做了题为“Boundary spike/layer solutions of chemotaxis models”（趋化性模型的边界尖峰/层解）的学术报告。在报告中，王教授介绍了在物理边界条件下（基于某些真实实验的零通量与狄利克雷混合边界条件）趋化性模型边界尖峰或层解方面取得的一些进展；探讨了包括边界尖峰/层解的存在性与稳定性，以及关于小扩散参数的边界层收敛性等一系列问题。 

报告结束后，与会专家学者围绕应用数学与偏微分方程交叉研究展开了热烈的研讨，为大家进一步合作研究奠定了基础。大家一致认为，快速变化的技术环境对数学的应用提出了新的挑战，应用数学与偏微分方程正在成为驱动人工智能核心突破的引擎学科，两者的交叉研究迎来了前所未有的新机遇，特别是在算法优化、模型构建和数据分析等方面，需要我们不断合作探索和创新。